監事履行對公司的監督職責主要包括以下幾個方面：
1. 監督公司的財務狀況：監事應對公司的財務狀況進行監督，包括審查和核實財務報表、財務記錄和賬目，確保其真實、準確和合法。
2. 監督公司的經營活動：監事應監督公司的經營活動是否符合法律法規和公司章程的規定，包括審查公司的經營計劃和決策，確保公司的經營行為合法、合規。
3. 監督公司的內部控制：監事應監督公司的內部控制制度的建立和執行情況，包括審查和評估公司的風險管理、內部控制和合規管理制度，確保公司的內部控制有效運行。
4. 監督公司的決策程序：監事應監督公司的決策程序的合法性和合規性，包括審查和評估公司的決策程序是否公正、透明和合理，確保公司的決策過程符合法律法規和公司章程的要求。
5. 監督公司的董事和高級管理人員：監事應監督公司的董事和高級管理人員的行為和履職情況，包括審查和評估董事和高級管理人員的任職資格、行為規范和履職情況，確保他們忠實履行職責。

為了履行監督職責，監事可以采取以下措施：
1. 參加董事會和股東大會：監事應參加董事會和股東大會，對公司的決策和行為進行監督，并提出意見和建議。
2. 進行內部審計：監事可以委托內部審計部門或獨立審計機構進行內部審計，對公司的財務狀況、經營活動和內部控制進行審查和評估。
3. 提出異議和建議：監事可以對公司的決策和行為提出異議和建議，要求董事會和高級管理人員進行解釋和改正。
4. 向監管機構報告：監事可以向相關監管機構報告公司的違法違規行為，要求監管機構進行調查和處理。

總之，監事應積極履行對公司的監督職責，保障公司的合法合規運營，維護股東和利益相關方的權益。