第二章 利率與金融資產(chǎn)定價

第一節(jié) 利率的計算

一、利率概述

(一)利率的涵義

1.利率是利息率的簡稱，指借貸期間所形成的利息額與本金的比率，是借貸資本的價格。

2.利率的種類

二、單利與復(fù)利

利息的計算分單利與復(fù)利

(一)單利：是不論借款期限的長短，僅按本金計算利息，上期本金所產(chǎn)生的利息不記入下期計算利息，即利息不重復(fù)計算利息的計息方法。其本利和是：

S＝P(1＋r·n)

其中，S為本利和，P為本金，r為利率，n為存期;我國銀行存款的利息是按單利計算。

I＝P·r·n 利息額與本金、利率、時間呈線性關(guān)系

例：P＝100，r＝6%(年利率)，n＝1、2、3(年)……

則：I1＝100·6%·1

I2＝100·6%·2＝12

I3＝100·6%·3＝18……

【例1·單選題】投資者用100萬元進(jìn)行為期5年的投資，年利率為5%，一年計息一次，按單利計算，則5年末投資者可得到的本息和為( )萬元。

A.110

B.120

C.125

D.135

【正確答案】C

【答案解析】本題考查單利計算本息和。100×(1＋5%×5)＝125萬元。

(二)復(fù)利：也稱利滾利，就是將上期利息并入本金并一并計算利息的一種方法。

1.一年付息一次(一年復(fù)利一次)

其本利和是：

S＝P(1＋r)n

其中，S為本利和，P表示本金，r表示利率，n表示時間。

I＝S－P＝P(1＋r)n－P＝P[(1＋r)n－1]

例：P＝100，r＝6%(年利率)，n＝1、2、3(年)……

I1＝S1－P1＝100(1＋6%)－100＝6

I2＝S2－P2＝100(1＋6%)2－100＝12.36>12

I3＝S3－P3＝100(1＋6%)3－100＝19.10>18……

I為利息額。利息額與利率、時間呈非線性關(guān)系(只與本金呈線性關(guān)系)

期值：在未來某一時點上的本利和，也稱為“終值”。其計算式就是復(fù)利本利和的計算式。

單利終值：S＝P(1＋r·n)

復(fù)利終值：S＝P(1＋r)n

2.一年付息多次(一年復(fù)利多次)

例：假設(shè)100元的存款以6%的年利率每半年支付一次利息，也就是說6個月的收益是6%的一半，即3%。

6個月末的終值為：FV＝100×(1＋0.06/2)＝103

年末的期值為：100×(1＋0.06/2)×(1＋0.06/2)＝100×(1＋0.06/2)2＝106.09

說明：第二期比第一期的終值多0.09元，是因為對第一期的3元的利息也計息的結(jié)果。如果一年中復(fù)利計算的次數(shù)增加的話，年末終值會越來越大。

【例2·單選題】某人在銀行存入10萬元，期限2年，年利率為6%，每半年支付一次利息，如果按復(fù)利計算，2年后的本利和是( )萬元。

A.11.20

B.11.26

C.10.26

D.10.23

【正確答案】B

【答案解析】本題考查年末期值計算公式FVn＝P(1＋r/m)nm。年利率是6%，每半年支付一次利息，那么2年的本利和就是10×(1＋6%/2)4＝11.26萬元。

(三)連續(xù)復(fù)利

表2-1 不同時間連續(xù)復(fù)利的期值

期值變化規(guī)律：

(1)每年計息次數(shù)越多，終值越大

(2)隨計息間隔的縮短(計息次數(shù)的增加)，終值以遞減速度增加，最后等于連續(xù)復(fù)利的終值。

三、現(xiàn)值

現(xiàn)值，也稱在用價值，是現(xiàn)在和將來的一筆支付或支付流在今天的價值。

如果把未來某一時點上一定金額的貨幣看作是現(xiàn)在一定金額的本利和，那么現(xiàn)值就是按現(xiàn)行利率計算出的要取得這樣金額的本利和在眼下所必須具有的本金數(shù)。這個逆算出來的本金稱“現(xiàn)值”，也稱“貼現(xiàn)值”。

(一)系列現(xiàn)金流的現(xiàn)值

假如我們有一系列的現(xiàn)金流，第一年末是100，第二年未是200，第三年末是200，第四年末是300，若折現(xiàn)率為8%，這一系列現(xiàn)金流的現(xiàn)值可以通過每筆資金現(xiàn)值的加總得到。

第一年末收入的100元的現(xiàn)值：100/(1+8%)=92.59

第二年末收入的200元的現(xiàn)值：200/(1+8%)2=171.47

第三年末收入的200元的現(xiàn)值：200/(1+8%)3=158.77

第四年末收入的300元的現(xiàn)值：300/(1+8%)4=220.51

總現(xiàn)值：643.34

所以，一系列的現(xiàn)金流的現(xiàn)值公式：

Ai表示第i年末的現(xiàn)金流量(Ai相當(dāng)于FVi)，i=1,2,3…，n。

(二)連續(xù)復(fù)利下的現(xiàn)值

1.一年支付m次利息

假如一年之內(nèi)支付利息的次數(shù)為m次，則利息率為r/m，則此時的現(xiàn)值公式為：

PV= 即(2-5)式的逆運算。式中An表示第n年末的現(xiàn)金流量(相當(dāng)于 )，m為年計息次數(shù)，r是貼現(xiàn)率。

例：如果三年后可收到100元，貼現(xiàn)率為8%，且一季計息一次，則現(xiàn)在值多少錢?

【正確答案】

2.連續(xù)計息的情形(連續(xù)復(fù)利)

如果式中m趨于∞，則(1+r/m)nm趨于ern，因此，如果連續(xù)復(fù)利，那么現(xiàn)值的計算公式為：

即(2-6)式的逆運算

例：如果三年后可收到100元，貼現(xiàn)率為8%，連續(xù)復(fù)利，則現(xiàn)在值多少錢?

【正確答案】

現(xiàn)值變化規(guī)律：

(1)每年計息次數(shù)越多，現(xiàn)值越小;而每年計息次數(shù)越多，終值越大。

(2)隨計息間隔的縮短(計息次數(shù)的增加)，現(xiàn)值以遞減速度減小，最后等于連續(xù)復(fù)利的現(xiàn)值。